0. 前言

这科更啥也不会，还考的贼早……快来补天吧，这科不补要挂。

1. 随机变量及其分布

1.1 离散型

0-1分布/伯努利分布：
- \(P(X=1)=p\)
- \(P(X=0)=1-p\)
二项分布：
- 一次试验发生概率\(p\)。把试验重复\(n\)次。\(X\)为发生的次数。
- \(P(X=k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\)
- \(X \sim B(n,p)\)
几何分布
- 直到第\(k\)次0-1试验成功。
- \(P(X=k)=q^{k-1}p\)
- \(X \sim G(p)\)
- 无记忆性：\(P(\xi >m+n|\xi >m)=P(\xi >n)\)
Pascal分布（负二项分布）
- \(X_r\)第\(r\)次0-1成功发生时试验次数
- \(P(X_r=k)={r-1 \choose k-1}p^r q^{k-r}\)
Poisson分布
- \(P(X=k)=\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda},\lambda>0\)
- \(X\sim P(\lambda)\)
- \(n\)重伯努利试验，如果\(np_n\rightarrow\lambda\)，则当\(n\rightarrow∞\)，二项分布分布律趋向于Poisson分布律。
离散均匀分布
- \(P(x=a_i)=\frac{1}{n}\)

1.2 连续型

分布函数：从负无穷积到\(x\)
正态分布：
- \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}\)
- \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
- 标准：\(N(0,1)\)，记\(\Phi(x)\)分布函数，\(\phi(x)\)密度函数
- \(N(\mu,\sigma^2)\)的分布函数\(F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\)
指数分布
- \(X\sim Exp(\lambda)\)
- \[f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}& \text{x>0}\\0& \text{x≤0}\end{cases}\]
- \[F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x}& \text{x>0}\\0& \text{x≤0}\end{cases}\]
均匀分布
- \(X\sim U[a,b]\)
- \[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}& \text{a≤x≤b}\\0& \text{其他}\end{cases}\]

1.3 其他

多维分布
- 多维随机变量\(X=(X_1,\dots, X_n)\)
- 概念啥的和一维的差不多轻松yy
- 均匀分布也差不多
- 二维正态分布：\(N(a,b,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)：
  - \[f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-a)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-a)(y-b)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-b)^2}{\sigma_2^2}]\}\]
边缘分布
- \((X_1,\dots, X_n)\) 取 \(m\) 个就叫 \(m\) 维边缘分布
- 二维正态分布中：
  - \[f_X(x)=\int _{-∞}^{∞}f(x,y)dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}exp\{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma_1^2}\}\]
  - \[f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}exp\{-\frac{(y-b)^2}{2\sigma_2^2}\}\]
随机变量函数的概率分布
- 离散型原理可用大脑yy
- 连续型密度变换公式：\(X\rightarrow f(x),x \in(a,b)\)。\(y=g(x)\)严格单调连续，反函数\(x=h(y)\)的导数存在且连续，则\(Y=g(X)\)概率密度函数：\(p(y)=f(h(y))|h'(y)|\)
  - 也可以先求出来分布函数，然后再求个导搞出来密度函数
  - 推广到多维情况\(|h'(y)|\)换成雅可比行列式
\(\chi^2\)分布
- \(X_1,\cdots ,X_n\sim N(0,1)\)，\(\sum\limits_i X_i^2\)的分布。
- 有再生性。
- \(X\sim \chi_n^2\rightarrow EX=n,Var(X)=2n\)
- \(f(x)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\)
再生性
- \(X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)\)，且\(X,Y\)独立，则\(X+Y\sim B(n+m,p)\)（二项分布再生性）
- \(X\sim P(\lambda),Y\sim P(\mu)\)，且\(X,Y\)独立，则\(X+Y\sim P(\lambda+\mu)\)（泊松分布再生性）
- \(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，且\(X,Y\)独立，则\(X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)
- \(X\sim \chi_n^2,Y\sim \chi_m^2\)，且\(X,Y\)独立，则\(X+Y\sim \chi^2_{n+m}\)
- Pascal分布也有（不常用）
加减乘除变换
- 加：\(X,Y\sim f(x,y),X+Y\sim p(z)=\int_{-∞}^{∞}f(x,z-x)dx=\int_{-∞}^{∞}f(z-y,y)dy\)
- 除：\(p_{\frac{X}{Y}}(z)=\int_{-∞}^{∞}|t|f(zt,t)dt\)
\(t\)分布
- \(X_1\sim N(0,1),X_2\sim \chi^2_n\)，且\(X_1,X_2\)独立，\(Y=\frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}\sim t_n\)，称为自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布。
- \(f_Y(y)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(x+\frac{y^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\)
- 关于原点对称，\(\lim_{n\rightarrow∞}f_Y(y)=\phi(y)\)
\(F\)分布
- \(X_1\sim \chi_n^2,X_2\sim \chi_m^2\)，且\(X_1,X_2\)独立，\(Y=\frac{X_1/n}{X_2/m}\sim F_{n,m}\)，称为自由度为\(n,m\)的\(F\)分布。
- \(f_Y(y)=\frac{\Gamma(\frac{n+m}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\frac{m}{2})}n^{n/2}m^{m/2}y^{n/2-1}(ny+m)^{-(n+m)/2}\)
极大极小值分布
- \(X_{(n)}=max\{X_1,\dots,X_n\},X_{(1)}=min\{X_1,\dots,X_n\}\)，易得考虑分布函数简单
- \(F_{X_{(n)}}=P(X_{(n)}\leq x)=\prod\limits_{k=1}^n P(X_k\leq x)=\prod\limits_{k=1}^nF_k(x)\)
- \(F_{X_{(1)}}(x)=1-\prod\limits_{k=1}^n(1-F_k(x))\)

2. 随机变量的数字特征

2.1 数学期望与中位数

数学期望
- 离散型不用写了
- 连续型注意先得\(\int_{-∞}^{∞}|x|f(x)dx<∞\)时，数学期望才能存在！
- \(X\sim B(n,p),EX=np\)
- \(X\sim P(\lambda),EX=\lambda\)
- \(X\sim Exp(\lambda),EX=\frac{1}{\lambda}\)
- \(X\sim \chi^2_n,EX=n\)
- \(X\sim t_n,EX=0\)
- 相加线性性，独立的话可相乘
条件期望
- \(E(Y|X=x)=\begin{cases}\int_{-∞}^{∞}yf(y|x)dy\\ \sum a_ip_i\end{cases}\)
- 全期望公式：\(EX=E\{E[X|Y]\}\)
  - 若求\(EY\)，先求\(h(x)=E(Y|X=x)\)，再求\(Eh(x)\)即可。
中位数
- \(P(X\leq m)\geq\frac{1}{2},P(X\geq m)\geq\frac{1}{2}\)
- \(p\) 分位数跟着定义：\(P(X\leq \mu_p)\geq p,P(X\geq \mu_p)\geq 1-p\)

2.2 方差，相关系数以及其他数字特征

方差
- \(Var(X)=E(X-EX)^2=EX^2-(EX)^2=\sigma^2\)
- \(\forall c\in const,Var(X)\leq E(X-c)^2\)等号成立当且仅当\(c=EX\)。
- \(X,Y\)独立，\(Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)\)
- \(X\sim B(n,p),Var(X)=np(1-p)\)
- \(X\sim P(\lambda),Var(X)=\lambda\)
- \(X\sim U[a,b],Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)
- \(X\sim Exp(\lambda),Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\)
- \(X\sim N(\mu,\sigma^2),Var(X)=\sigma^2\)
- \(X^*=\frac{X-EX}{\sqrt{Var(X)}}\)，叫\(X\)的标准化随机变量，\(EX^*=0,Var(X^*)=1\)。用于消除单位带来的影响。
矩
- \(r\in N^*,E[(X-c)^r]\)称为\(X\)关于\(c\)的\(r\)阶矩。
  - \(c=0\)：原点矩
  - \(c=EX\)：中心矩
协方差
- 已知\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2E(X-EX)(Y-EY)\)，由此定义\(Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)\)，反应\(X,Y\)相关性。
- \(Cov(X,X)=Var(X)\)
- \(Cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY\)，若独立，则\(Cov(X,Y)=0\)
- \(Cov(A+B,X)=Cov(A,X)+Cov(B,X)\)
- \(X_1,\dots,X_n,\Sigma=(Cov(X_i,X_j))\)，这叫协方差矩阵。
  - \((X,Y)\sim N(a,b,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho),\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1^2&\rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_2^2\end{pmatrix}\)
相关系数
- \(\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\cdot\sqrt{Var(Y)}}=Cov(X^*,Y^*)\)，叫相关系数，等于\(0\)时，\(X,Y\)不相关。（还是为了避免单位影响）
- \((X,Y)\sim N(a,b,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\rightarrow\rho_{X,Y}=\rho\)
- \(X,Y\)独立，\(\rho_{X,Y}=0\)
- \(|\rho_{X,Y}|\leq1\)，取等号的时候当且仅当有线性关系，1 的话正相关，-1 的话负相关。
柯西不等式：\(\xi, \eta\)平方可积：\([E\xi\eta]^2\leq E\xi^2 E\eta^2\)，取等当且仅当\(P(\xi=t_0\eta)=1,t_0\in const\)
- 推论：\(\xi, \eta\)平方可积：\(Cov(\xi,\eta)\leq\sqrt{Var(\xi)}\cdot\sqrt{Var(\eta)}\)，取等条件和上面一样
- 非退化\(\xi, \eta\)平方可积，以下四个命题等价：
  1. \(\xi, \eta\)不相关。
  2. \(Cov(\xi,\eta)=0\)
  3. \(E\xi\eta=E\xi E\eta\)
  4. \(Var(\xi+\eta)=Var(\xi)+Var(\eta)\)
相互独立一定不相关，不相关不一定独立。（判断“不相关且不独立”的时候先搞出来\(Cov(X,Y)=0\)，之后再用边缘分布\(f(x,y)\neq f_X(x)\cdot f_Y(y)\)）

3. 大数定律和中心极限定理

3.1 大数定律

若对\(\forall \epsilon>0,\lim\limits_{n\rightarrow ∞}P(|\xi_n-\xi|\geq\epsilon)=0\)，称随机变量序列\(\{\xi_n\}\)依概率收敛到随机变量\(\xi\)，记 \(\xi_n \stackrel{p}{\rightarrow} \xi\)
\(\{X_n\}\)独立同分布，公共的期望\(\mu\)、方差\(\sigma^2\)：\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_k\stackrel{p}{\rightarrow}\mu\)。（\(\{X_n\}\)服从大数定律）
切比雪夫不等式：\(X\)的方差存在则：\(P(|X-EX|\geq\epsilon)\leq\frac{Var(X)}{\epsilon^2},\forall\epsilon>0\)
- 可用来估计\(X\)与\(EX\)偏差，但是不太精确

3.2 中心极限定理

\(\{X_n\}\)公共的期望\(\mu\)、方差\(\sigma^2\)。
- \(\sum X_i\)的标准化形式：\(\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}(X_1+\dots+X_n-n\mu)\)
- 中心极限定理：\(\forall x\in \mathbb{R}, \lim\limits_{n\rightarrow∞}F_n(x)=\Phi(x)\)（\(F_n(x)\)为标准化形式是分布函数）。
棣莫弗-拉普拉斯定理：把二项分布带入中心极限定理。（可用正态分布估计二项分布）
- 也就是二项分布时：
  - \(\lim\limits_{n\rightarrow∞}P(\frac{\sum X_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x)=\Phi(x),\forall x\in \mathbb{R}\)
  - \(\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim N(0,1)\)

4. 数理统计的基础与抽样分布

4.1 样本的两重性和简单随机样本

样本空间：样本\(X=(X_1,\dots,X_n)\)可能取值的全体称为样本空间，记为 \(\mathscr{X}\)
样本两重性：样本既可m_k看成具体的数，又可以看成随机变量或随机向量。
- 用大写表示随机变量或随机向量，用小写表示具体的观察值
简单随机样本：\(F\)中抽\(X_1,\dots,X_n\)，若相互独立且相同分布，则称之为简单随机样本。（联合分布、联合密度累乘即可）
统计推断：样本推断总体
- 分布形式已知，但有未知参数，推断这个参数叫参数统计推断
  - 两种方法是：参数估计和假设检验
- 形式都不知道叫非参数统计推断

4.2 统计量

统计量是样本的函数
- 只与样本有关，不与未知参数有关
常用统计量
- 样本均值：\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\)
- 样本方差：\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline{X})^2\)
- 样本\(k\)阶原点矩：\(a_k=\frac{1}{n}\sum X_i^k\)
- 样本\(k\)阶中心矩：\(m_k=\frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^k\)
- 次序统计量：把样本排个序\(X_{(1)},\dots,X_{(n)}\)
  - 样本中位数：\(m_{\frac{1}{2}}=\begin{cases} X_{(\frac{n+1}{2})}& \text{n为奇数}\\ \frac{1}{2}[X_{(\frac{n}{2})}+X_{(\frac{n}{2}+1)}]& \text{n为偶数} \end{cases}\)
  - 极值：\(X_{(1)},X_{(n)}\)
- 经验分布函数：\(F_n(x)=\frac{X_1,\dots,X_n\text{中≤x的个数}}{n}\)
正态变量线性函数的分布
- \(X_1,\dots,X_n\sim N(a,\sigma^2),T=\sum c_k X_k\sim N(a\sum c_k,\sigma^2\sum c_k^2)\)
  - \(c_k=\frac{1}{n}\)即\(T=\overline{X}:\overline{X}\sim N(a,\frac{\sigma^2}{n})\)
正态变量样本方差的分布
- \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\)
- \(\overline{X}\)与\(S^2\)独立
几个重要推论
1. \(X_1,\dots, X_n\)独立同分布\(\sim N(a,\sigma^2)\)，则：\(T=\frac{\sqrt{n}(\overline X-a)}{S}\sim t_{n-1}\)
2. \(X_1,\dots,X_n\sim N(a_1,\sigma^2)\)对应\(Y\)于\(N(a_2,\sigma^2)\)，互相都独立，则：\(T=\frac{(\overline X-\overline Y)-(a_1-a_2)}{S_{w}}\cdot\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\sim t_{n+m-2}\)（\((n+m-2)S_w^2=(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2\)）
3. \(X_1,\dots,X_n\sim N(a_1,\sigma_1^2)\)对应\(Y\)于\(N(a_2,\sigma_2^2)\)，互相都独立，则：\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\sim F_{m-1,n-1}\)
4. \(X_1,\dots,X_n\)服从指数分布：\(f(x,\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}I_{[x>0]}\)，则：\(2\lambda n \overline{X}=2\lambda \sum X_i\sim \chi^2_{2n}\)

5. 参数估计

5.0 基本概念

参数估计问题：
- 总体：\(X\sim f_{\theta}(x),f\text{形式已知},\theta=(\theta_1,\dots,\theta_k)\)为未知参数
- 样本：\(X_1,\dots,X_n\)
- 利用样本对参数\(θ\)的作出估计或估计它们的某个已知函数\(g(θ)\)
点估计：点估计：用样本的函数\(T(X_1,\dots,X_n)\)去估计\(g(θ)\)
区间估计：用一个区间去估计\(g(θ)\)

5.1 点估计

概述：用\(X_1,\dots,X_n\)来估计\(\theta\)，需要引入统计量\(\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1,\dots,X_n)\)。带入样本的值算出\(\hat{\theta}\)作为\(\theta\)估计值。
- \(\hat{\theta}\)：估计量
矩估计方法
- 样本\(k\)阶矩：\(a_k=\frac{1}{n}\sum X_i^k,m_k=\frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^k\)
- 总体\(k\)阶矩：\(\alpha_k=EX^k,\mu_k=E(X-EX)^2\)
- 矩估计原理是用样本的估计总体的，假设未知参数\(\theta=(\theta_1,\dots,\theta_k)\)，方程组：
  - \(\begin{cases}\alpha_1=f_1(\theta_{1:k})\\ \qquad \vdots\\\alpha_k=f_k(\theta_{1:k})\end{cases}\)
  - 反解
  - \(\begin{cases}\theta_1=g_1(\alpha_{1:k})\\ \qquad \vdots\\\theta_k=g_k(\alpha_{1:k})\end{cases}\)
  - 再用样本矩代替即可
- 原则是尽量用低阶矩，特点是简单，但是不唯一
最大似然估计方法
- 设样本\(X=(X_{1:n})\)概率密度函数：\(f_\theta(x)\)（\(x\)为样本\(X\)的观察值），给定\(x\)，\(\hat{\theta}=\hat{\theta}(x)\)满足：\(L(\hat{\theta})=\max L(x;\theta)\)，\(\hat{\theta}\)即为最大拟然估计值
- 一般情况：\(L(x;\theta)=\prod f_\theta(x_i)\)
- 判断的时候先取个对数，固定\(x\)再对\(\theta\)微分之类的即可
  - 举个例子：\(X_{1:n}, X\sim N(a,\sigma^2)\)，求\(a,\sigma^2\)的最大拟然估计量
  - 对数拟然函数：\(l(a,\sigma^2)=c-\frac{1}{2\sigma^2}\sum (x_i-a)^2-\frac{n}{2}\log(\sigma^2)\)
  - \(\begin{cases}\frac{\partial l(a,\sigma^2)}{\partial a}=0\\\frac{\partial l(a,\sigma^2)}{\partial \sigma^2}=0\end{cases}\)
  - 则：\(\hat{a}=\overline{X},\hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\)
点估计的优良准则
- 相合性：对估计量最基本的要求，矩估计满足，最大拟然一般条件下满足
- 无偏性：\(E\hat{g}(X_{1:n})=g(\theta)\)，称为无偏估计量
- 有效性：两个无偏估计量的方差小的更有效
- 渐近正态性:\(n\)很大，趋近于正态分布

5.2 区间估计

概述：除了点估计\(\hat{\theta}\)，还希望给出个范围，包含\(\theta\)真值的可信程度
置信区间：在给定的置信水平之下，去寻找精度高的区间。
- 枢轴变量法
  - 过程：
    1. 找到\(T\)（一个良好的点估计）与\(g(\theta)\)有关
    2. 找出一个函数\(S(T,g(\theta))\)的分布与\(\theta\)无关（\(S\)为枢轴变量）
    3. \(\forall a<b\in const\)，\(a\leq S(T,g(\theta))\leq b\)能表示成\(A\leq g(\theta) \leq B\)，\(A,B\)与参数无关
    4. 取分布\(F\)的\(\frac{\alpha}{2}，1-\frac{\alpha}{2}\)分位数，则：\(P(\omega_{1-\alpha/2}\leq S(T,g(\theta))\leq \omega_{\alpha/2})=1-\alpha\)。这就是我们要求的置信区间
  - 举例说明：\(X_{1:n}\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求参数\(\mu\)，\(\sigma^2\)的\(1−\alpha\)置信区间。
    - \(\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t_{n-1}\)
    - \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\)
    - 则最后的置信区间分别为：
      - \([\overline X-\frac{1}{\sqrt{n}}St_{n-1}(\alpha/2),\overline{ X}+\frac{1}{\sqrt{n}}St_{n-1}(\alpha/2)]\)
      - \([\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1}(\alpha/2)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1}(1-\alpha/2)}]\)
- 大样本法
  - 利用极限分布，建立枢轴变量
置信界：
- 只对一边感兴趣的时候
- \(P_{\theta}(\theta\leq \overline{\theta})\geq 1-\alpha\)：置信上界
- \(P_{\theta}(\theta\geq \underline{\theta})\geq 1-\alpha\)：置信下界

6. 假设检验

6.0 推荐阅读资料

假设检验——这一篇文章就够了

6.1 基本概念

假设检验问题就是研究如何根据抽样后获得的样本来检查抽样前所作假设是否合理。
两类错误
- “实际上 \(H_0\) 成立但是它被拒绝”为第 \(I\) 类错误（弃真）
- “实际上 \(H_0\) 不成立但是它没有被拒绝” 为第 \(II\) 类错误（存伪）
只限制第一类错误的原则下的检验方法，称为显著性检验
- 给定允许犯第一类错误概率的最大值\(\alpha\)，选取\(\tau\)使得：\(P_{H_0}(T<\tau)\leq\alpha\)。称\(\alpha\)为显著性水平。
- \(\beta(\theta)=P_{\theta}(H_0\text{被拒绝})\)：检验的功效函数
问题流程
1. 提出假设检验问题：\(H_0:\theta\in \Theta_0\leftrightarrow H_1:\theta\in\Theta_1\)。\(H_0\)为零假设或原假设，\(H_1\)为对立假设或备择假设。
2. 参数估计构造检验统计量\(T=T(X_{1:n})\)。
3. 根据对立假设构造检验的拒绝域\(W=\{T(X_{1:n})\in A\}\)，\(A\)为一个集合或者区间。拒绝域可取\(\{T(X_{1:n}>\tau)\}\)，此时称\(\tau\)为临界值。
4. 任意\(\theta\in\Theta_0\)犯第一类错误概率小于等于显著性水平\(\alpha\)。
5. 结合\(T\)在\(H_0\)下分布，定出\(A\)。
几种常见假设检验问题
- 简单假设：\(\theta=\theta_0\leftrightarrow\theta=\theta_1\)
- 双侧假设：\(\theta=\theta_0\leftrightarrow\theta\neq\theta_0\)
- 单侧假设：轻易yy出来一边
- 做题方法：
  1. 求出\(\theta\)较优的点估计\(\hat{\theta}\)
  2. 寻找统计量\(T=t(X_{1:n})\)，使得当\(\theta=\theta_0\)时，\(T\)分布已知，可以查表找到对应分位数
  3. 寻找对立假设\(H_1\)实际意义，找到拒绝域
  4. 零假设成立时，第一类错误概率小于显著性水平\(\alpha\)，这个临界值方程解出来，也就是确定了拒绝域
  5. 根据样本观测值，算出检验统计量的样本观测值，在拒绝域中可以拒绝零假设

6.2 一样本和两样本总体参数检验

一样本正态总体参数检验
- 方差已知均值检验：
  - 先考虑双侧假设（\(H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0\)）
  - \(\mu\)极大拟然估计\(\overline{X}\)，标准化后的检验统计量\(Z=\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\)
  - yy出\(H_0\)成立的时候\(|Z|\)较小。所以拒绝域形如\(\{|Z|>\tau\}\)，所以\(P_{H_0}(|Z|>\tau)=\alpha\)
  - 解得：\(\tau=u_{\alpha/2}\)，所以把观测值带入后找到拒绝条件
  - 左右侧假设同理，这些被称为\(Z\)检验
- 方差未知时检验：
  - 考虑检验：\(H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\neq\mu_0\)
  - 由于方差未知，使用样本方差\(S^2\)代替总体方差\(\sigma^2\)得到检验统计量\(T=\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\)
  - 在\(H_0\)下，\(T\sim t_{n-1}\)，所以拒绝域为\(\{|T|>t_{n-1}(\alpha/2)\}\)，这叫\(t\)检验

7. 做题的时候总结的杂碎重要知识点（和前面可能重合）

\(X\sim N(a,\sigma^2)\)，则\(EX^2=a^2+\sigma^2\)
\(Var(cX)=c^2Var(x),Var(aX+bY)=a^2Var(x)+b^2Var(Y)\)
\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(\mu\)的\(1-\alpha\)置信区间长度为\(2St_{n-1}(\frac{\alpha}{2})/\sqrt{n}\)
\[\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t_{n-1}\]
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}\]
\(X\sim Exp(x),EX=\frac{1}{\lambda},Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\)
\(\overline{X}\)（样本均值）与\(S^2\)（样本方差）独立
\(t\)分布关于原点对称，\(n\)趋近于无穷的时候趋近于正态分布
假设检验中，在显著性水平\(\alpha = 0.05\)下若原假设\(H_0\)被接受，说明没有充分的理由表明\(H_0\)是错误的，因为如果落在拒绝域内，有足够理由\(H_0\)错误，不落在就取反！